できました。いや精確には、母校の友人に一瞬で解かれてしまいましたw
くやしい。
で、証明なんですが…示したいのはこれ。
ある区間（a,b）（⊂(0,1)）内のある点x_0において凸でないとしよう。
ここでφ(a)=φ(b)=0、φ(x_0)=1としても一般性は失われない。
a,bのうち、x_0に近い方をc_0とし、「x_0を、c_0との中点とする点」をx_1とする。
すると、背理法の仮定より、φ(x_1)+φ(c_0)=φ(x_1)≥2φ(x_0)=2を得る。
次に、a,bのうち、x_1に近い方をc_1とし、「x_1を、c_1との中点とする点」をx_2とする。
背理法の仮定より、φ(x_2)+φ(c_1)=φ(x_2)≥2φ(x_1)≥4を得る。
よって、このようにして得られた（a,b）内の点列{x_n}は、φ(x_n)≥2^nを満たすが、{x_n}は[0,1]内の数列であるため収束部分列をもち、その行き先をxとすると、部分極限によりφ(x)≥2^n→+∞となって、φの[0,1]上での有界性に反する。
したがって、φは凸である■
