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Life is Beautiful

主に進化生物学の理論のブログです。不定期更新予定。

Structured Population

「齋藤さんには、二人の子供がいます。日曜日うまれの女の子はいるか?と尋ねると、居る、という。それでは、もう一人も女の子である確率は?」
(ただし性比は0.5とする)


いかにも条件付き確率の問題っぽいですね。実はこの問題も、Structured Populationとして捉えると、実にスッキリします。
まずベイスの定理を復習しておきます。
「Aであるという条件のもとで、Bである確率」とは、P[B|A]と書かれ、その値は
P[B|A]:=P[B∧A]/P[A]である
というのが、ベイズの定理でした。
今の場合、
 A=[日曜日うまれの女の子が子供にいる事象]
 B=[もう一人の子供が女の子である事象]

ここで、Sexというクラスを考えましょう。この世にはオスというクラスとメスというクラスとがあります。
さらに、「生まれた曜日クラス」が考えられます。
Sexと曜日とは独立であり(としましょう)、どの曜日に生まれてくるかはat randomであったとしましょう(おのおの1/7)。

結局、この世には、(曜日、性別)という7×2=14通りのクラスがあると考えられます。

あとは簡単。「(日、女)クラスの子供が少なくとも1人はいるという下で、もう1人が(××、女)というクラスに属している確率」を求めることになります。ここで、××は任意性を表しています。何曜日でも構いません。

すると、A:「(日、女)クラスの子供が少なくとも1人いる」という事象は、「(日、女)クラスの子供が1人もいない」という事象の余事象ですから、元の事象が起こる確率は、1-(13/14)^2=27/169です。13/14は、「1人が(日、女)クラスの子供ではない」という確率であり、2人ともそうでない確率はその2乗になります。これは余事象でしたから、1から引いておきます。これが、条件付き確率の分母P[A]になります。

さらに、P[A∧B]を考えましょう。姉妹兄弟には年齢がある(上、下)のでそれを踏まえると

  上   下

(日、女)(日、女);←これは重複に注意!
(月、女)(日、女);
(火、女)(日、女);
(水、女)(日、女);
(木、女)(日、女);
(金、女)(日、女);
(土、女)(日、女);

(日、女)(月、女);
(日、女)(火、女);
(日、女)(水、女);
(日、女)(木、女);
(日、女)(金、女);
(日、女)(土、女);

という13通りが考えられます。それぞれが起こる確率は(1/14)^2=1/196でしたから、これが起こる確率は13/196=P[A∧B]と解ります。

従って、結局求めるのはP[A∧B]/P[A]=13/27、と1/2より少し小さいことが解りましたね。